جواب کاردرکلاس صفحه 78 ریاضی یازدهم

داده‌ها: $\cos x = -\frac{4}{5}$ و $\sin x > 0$. ## ۱. تعیین ربع دایره * $\cos x < 0$: ربع دوم یا سوم. * $\sin x > 0$: ربع اول یا دوم. $$\text{نتیجه}: \text{انتهای کمان زاویهٔ } x \text{ در **ربع دوم** قرار دارد.}$$ **در ربع دوم**: $\cos x < 0, \sin x > 0, \tan x < 0, \cot x < 0$. --- ## ۲. محاسبهٔ $\sin x$ از رابطهٔ $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ استفاده می‌کنیم: $$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$$ چون $\sin x > 0$ (ربع دوم): $$\sin x = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$$ --- ## ۳. محاسبهٔ $\tan x$ و $\cot x$ $$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$$ $$\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{1}{-3/4} = -\frac{4}{3}$$ $$\text{نسبت‌های مثلثاتی دیگر}: \sin x = \frac{3}{5}, \tan x = -\frac{3}{4}, \cot x = -\frac{4}{3}$$

جدول زیر مقادیر نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های اصلی از $0^{\circ}$ تا $360^{\circ}$ را نشان می‌دهد: | زاویه $\alpha$ | $0^{\circ}$ ($0$ رادیان) | $30^{\circ}$ ($\frac{\pi}{6}$) | $45^{\circ}$ ($\frac{\pi}{4}$) | $60^{\circ}$ ($\frac{\pi}{3}$) | $90^{\circ}$ ($\frac{\pi}{2}$) | $180^{\circ}$ ($\pi$) | $270^{\circ}$ ($\frac{3\pi}{2}$) | $360^{\circ}$ ($2\pi$) | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\sin \alpha$ | $\mathbf{0}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{0}$ | $-1$ | $\mathbf{0}$ | | $\cos \alpha$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\mathbf{\frac{1}{2}}$ | $\mathbf{0}$ | $-1$ | $\mathbf{0}$ | $\mathbf{1}$ | | $\tan \alpha$ | $\mathbf{0}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{\sqrt{3}}$ | $\text{تعریف نشده}$ | $\mathbf{0}$ | $\text{تعریف نشده}$ | $\mathbf{0}$ | | $\cot \alpha$ | $\text{تعریف نشده}$ | $\mathbf{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $\mathbf{0}$ | $\text{تعریف نشده}$ | $\mathbf{0}$ | $\text{تعریف نشده}$ |

## الف) محاسبهٔ عبارت اول مقادیر نسبت‌های مثلثاتی اصلی: * $\cot \frac{\pi}{6} = \cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$ * $\tan \frac{\pi}{3} = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ * $\sin \frac{\pi}{4} = \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $$\cot \frac{\pi}{6} - \tan \frac{\pi}{3} \times \sin \frac{\pi}{4} = \sqrt{3} - \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$= \sqrt{3} - \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{6}}{2}$$ --- ## ب) محاسبهٔ عبارت دوم مقادیر نسبت‌های مثلثاتی اصلی: * $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \tan^2 \frac{\pi}{6} = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ * $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sin^2 \frac{\pi}{3} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$ * $\cot \frac{\pi}{4} = 1 \Rightarrow \cot^2 \frac{\pi}{4} = 1^2 = 1$ * $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos^2 \frac{\pi}{3} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ **۱. محاسبهٔ کسر**: $$\frac{\tan^2 (\frac{\pi}{6}) + \sin^2 (\frac{\pi}{3})}{\cot^2 (\frac{\pi}{4}) - \cos^2 (\frac{\pi}{3})} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{4 + 9}{12}}{\frac{3}{4}} = \frac{13/12}{3/4}$$ $$= \frac{13}{12} \times \frac{4}{3} = \frac{13}{9}$$ **۲. محاسبهٔ بخش دوم**: از رابطهٔ اساسی مثلثات $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ استفاده می‌کنیم: $$\cos^2 75^{\circ} + \sin^2 75^{\circ} = 1$$ **۳. حاصل نهایی**: $$\frac{13}{9} + 1 = \frac{13}{9} + \frac{9}{9} = \frac{22}{9}$$ $$\text{حاصل عبارت}: \frac{22}{9}$$